Koty Rasowe

https://eduinf.waw.pl/inf/utils/010_2010/0220.php

System ósemkowy

Oprócz systemu dwójkowego w informatyce powszechnie są stosowane dwa systemy - ósemkowy (oktalny) oraz szesnastkowy (heksadecymalny). Powodem ich stosowania jest to, iż bardzo łatwo jest przeliczać pomiędzy nimi a systemem dwójkowym. Liczba ósemkowa jest dla ludzi bardziej czytelna od liczby dwójkowej.

W systemie ósemkowym mamy 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Wartość liczby ósemkowej obliczamy wg wzoru:

W₈ = c_n-18^n-1 + c_n-28^n-2 + ... + c₂8² + c₁8 + c₀

c_i, i = 0,1,...,n-1 - kolejne cyfry ósemkowe zapisu liczby

Przykład:

7231₈ = 7 × 8³ + 2 × 8² + 3 × 8 + 1
7231₈ = 7 × 512 + 2 × 64 + 3 × 8 + 1
7231₈ = 3584 + 128 + 24 + 1
7231₈ = 3737

Istnieje również inny algorytm obliczania wartości dowolnej liczby pozycyjnej, zwany schematem Hornera. Postępujemy następująco:

Za wynik W przyjmujemy pierwszą od lewej cyfrę liczby. Kolejne cyfry liczby odczytujemy od strony lewej ku prawej.
Dopóki są dalsze cyfry, wynik W mnożymy przez podstawę systemu i dodajemy do niego kolejną cyfrę, aż do ich wyczerpania.
Na końcu W zawiera wartość liczby.

Przykład:

Mamy znaleźć wartość liczby ósemkowej 7231₈. Kolejne cyfry to 7, 2, 3 i 1. Zaczynamy:

W ← 7

W ← W × 8 + 2 = 7 × 8 + 2 = 58

W ← W × 8 + 3 = 58 × 8 + 3 = 467

W ← W × 8 + 1 = 467 × 8 + 1 = 3737 - koniec

Schemat Hornera wykorzystują programy obliczające wartość liczb w innych systemach pozycyjnych.

Do wyznaczenia zapisu liczby L w systemie ósemkowym możemy wykorzystać poznany wcześniej algorytm dla systemu dwójkowego, po drobnej modyfikacji:

L dzielimy przez podstawę systemu docelowego. Za kolejną od końca cyfrę przyjmujemy resztę z dzielenia. Za nowe L przyjmujemy wynik dzielenia całkowitoliczbowego. Jeśli L jest różne od zera, operację powtarzamy. Inaczej wyświetlamy otrzymane cyfry w kierunku odwrotnym do ich wyznaczenia.

Przykład:

Mamy znaleźć reprezentację liczby 10000 w systemie ósemkowym.

 10000 = 23420₈

Liczby ósemkowe bardzo prosto przeliczamy na system binarny. Jedna cyfra ósemkowa zawsze przechodzi w trzy cyfry binarne:

Gdy zamieniamy liczbę ósemkową na odpowiadającą jej co do wartości liczbę binarną, każdą cyfrę ósemkową zastępujemy trzema cyframi binarnymi zgodnie z tabelką. Na przykład, liczba ósemkowa 23420₈ ma w systemie dwójkowym następującą postać:

Zwróć uwagę, że dla człowieka liczba ósemkowa jest bardziej czytelna od jej odpowiednika dwójkowego. To jest właśnie powód popularności systemu ósemkowego wśród programistów, którzy muszą przekazywać do programów wartości związane z systemem dwójkowym.

W drugą stronę postępujemy podobnie. Liczbę dwójkową dzielimy na trójki bitów. Jeśli ostatnia trójka jest niepełna, uzupełniamy ją bitami o wartości 0. Następnie każdą z trójek zastępujemy odpowiadającą im cyfrą ósemkową. Konwersja skończona. Dla przykładu przekształćmy jakąś liczbę dwójkową na ósemkową:

System szesnastkowy

System szesnastkowy posiada 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pierwsze 10 cyfr jest takie same jak w systemie dziesiętnym. Za kolejne 6 cyfr przyjęto pierwsze litery alfabetu. Litery te w zapisie liczby mogą być małe lub duże. Wartości tych cyfr to kolejno A=10, B=11, C= 12, D=13, E=14, F=15.

Wartość liczby szesnastkowej obliczamy ze wzoru:

W₁₆ = c_n-116^n-1 + c_n-216^n-2 + ... + c₂16² + c₁16 + c₀

c_i, i = 0,1,...,n-1 - kolejne cyfry szesnastkowe zapisu liczby

Przykład:

AFD3₁₆ = 10 × 16³ + 15 × 16² + 13 × 16 + 3
AFD3₁₆ = 10 × 4096 + 15 × 256 + 13 × 16 + 3
AFD3₁₆ = 40960 + 3840 + 208 + 3
AFD3₁₆ = 45011

To samo schematem Hornera:

W ← 10

W ← W × 16 + 15 = 160 + 15 = 175

W ← W × 16 + 13 = 2800 + 13 = 2813

W ← W × 16 + 3 = 45008 + 3 = 45011

Liczbę dziesiętną przeliczamy na 16 wg poznanego schematu:

Przykład:

Mamy znaleźć reprezentację liczby 99999 w systemie szesnastkowym.

 99999 = 1869F₁₆

Liczby szesnastkowe również jest łatwo przeliczać na liczby dwójkowe. W tym przypadku każda cyfra szesnastkowa zastępuje cztery cyfry binarne - dzięki temu liczby szesnastkowe bardzo dobrze odwzorowują dane 8, 16, 32 bitowe. Tabelka konwersji jest następująca:

Przeliczanie liczby szesnastkowej na ósemkową polega na zamianie każdej cyfry szesnastkowej grupą 4 cyfr binarnych:

W drugą stronę bity rozdzielamy poczynając od końca liczby na grupy 4 bitowe. Ostatnia grupa może być niepełna - dopełniamy ją bitami o wartości 0. Każdą grupę zastępujemy odpowiadającą im cyfrą szesnastkową:

Poniższy program w języku C++ oblicza wartość liczby pozycyjnej w dowolnym systemie od 2 do 16. Cyfry większe od 9 należy podawać jako duże litery. Na początku wpisujemy podstawę systemu, w którym jest zapisana liczba, a następnie samą liczbę.

// Obliczanie wartości liczb pozycyjnych
// (C)2011 I LO w Tarnowie
//--------------------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    char cyfry[256];
    unsigned p,i,W,c;

    cin >> p;     // odczytujemy podstawę

    cin >> cyfry; // odczytujemy cyfry

    W = cyfry[0] - 48; // wartość cyfry
    if(W > 9) W -= 7;  // korekta dla cyfr literowych

    for(i = 1; cyfry[i]; i++)
    {
       c = cyfry[i] - 48;
       if(c > 9) c -= 7;
       W = W * p + c;
    }

    cout << W;

    return 0;
} 

Drugi program przelicza podaną liczbę dziesiętną na liczbę w innym systemie liczbowym. Pierwszy parametr to podstawa systemu docelowego. Drugi parametr to wartość dziesiętna do przeliczenia.

// Przeliczanie na inny system liczbowy
// (C)2011 I LO w Tarnowie
//--------------------------------------

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    char cyfry[256];
    unsigned p,i,L,c;

    cin >> p;             // odczytujemy podstawę

    cin >> L;             // odczytujemy liczbę

    for(i = 0; L; i++)
    {
      c = L % p;          // wyliczamy cyfrę
      if(c > 9) c += 7;   // poprawka na cyfry literowe
      cyfry[i] = c + 48;  // wstawiamy cyfrę do tablicy
      L /= p;             // modyfikujemy liczbę
    }

    do
      cout << cyfry[--i]; // cyfry wyświetlamy odwrotnie
    while(i);

    cout << endl;

    return 0;
}